2017年湖南工学院“新生杯”数学建模竞赛题目
（请严格遵守对论文格式的统一要求）
a题：共享单车的投放和管理问题
互联网租赁自行车（即共享单车）是指企业在校园、地铁站点、公交站点、居民区、商业区、公共服务区等提供自行车单车共享服务，是一种分时租赁模式。共享单车是一种新型共享经济。2016年以来，随着资本的疯狂涌入，共享单车迎来了井喷式发展，在解决城市交通出行“最后一公里”问题、缓解城市交通拥堵等方面发挥了积极作用。
一个城市的不同地区、同一地区的不同位置单车供需是不同的，甚至极度不平衡。比如同一地铁站的不同出口，共享单车的使用频率和所需投放数量就不一样。
现有一共享单车平台需要请你就衡阳市共享单车的投放管理讨论下列问题：
(1)请你们根据衡阳的情况，通过数学建模的方法，定量分析指出需要投放共享单车的地区。
(2)对一个城市的共享单车科学高效调度，是共享单车平台管理者非常关心的问题。请你们根据(1)的情况，通过数学建模的方法，给出不同地区需要投放共享单车的数量；同时也请通过建模分析给出同一地区不同具体位置应投放的数量。
(3)由于每天不同时间段，同一地区共享单车需求不同。试建立数学模型，建立共享单车不同地区投放的数量与时间的关系，以便公司实现共享单车的合理配置，并提高共享单车的利用率，提高公司的收益。
(4) 在企业跑马圈地式的扩张和资本的大力推动下，共享单车的数量得到了极速的膨胀。然而，随之也出现了各种管理问题。如用户经常遇到开不了锁、锁不上等影响使用的问题，且需要迅速反馈和满意的解决方案。车辆乱停乱放，有的甚至被扔到了偏僻的角落，影响市容环境。从平台公司的角度，要迅速处理用户反馈问题，同时需尽快对这些车进行处理，尽量减少这些故障车被用户使用的次数概率。单车被骑走到城市的各个角落后，如何调度才能保证它们能被更多人骑到。同时企业也缺少对用户不文明用车、违规停车的相关惩罚措施。这些问题的处理，平台管理者和广大用户双方都十分关注。目前还没有找到一种行之有效、快捷的量化管理方法，能够比较及时有效的处理遇到的问题，提高平台的服务质量和广大用户的满意度。请你运用数学建模的方法为平台企业建立量化的管理与决策方法。
2017年湖南工学院“新生杯”数学建模竞赛题目
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b题：商场“黄牛党”动了谁的奶酪？
每逢临近岁末，商场都会通过各种方式进行促销活动，促销手段也五花八门。上海八佰伴商厦推出年末促销打折活动，从早上八点到凌晨两点的销售期间，大部分商品均有折扣送券。其中a类商品（大部分服装，鞋类等）消费满500元现金送300元券；b类商品（电器，黄金等）满2000元现金送300元券，用券消费时，不找零，不再送券，限期使用完，过期作废。当日吸引了20万顾客光顾，共创造两亿五千万元销售额，可谓盛况空前。在汹涌的人潮之中，当然也少不了“黄牛”一族。现在讨论这样一种情形：大部分顾客集中在了a类商品的购买上。假设某顾客甲共购买了4000元若干a类商品。在没有黄牛的情况下，甲的最优分配是，用2500元现金为其中部分商品付款，从而获得商场返还的5张300元券，共1500元。用这1500元券为剩下的商品付款。这样，甲其实是用2500元现金获得了价值4000元的商品，等于是享受了2500/4000=62.5的折扣。此时，黄牛进场了。黄牛的操作手法基本上是从顾客手中用现金收购券，再将券卖给其他顾客，赚取差价。黄牛的收购价基本上是250元现金收购300元的券。这样，顾客甲有了另外一个选择：甲全部用4000元现金为商品付款，获得8张300元券，然后将券卖给黄牛，获得8250元=2000元现金，即自己只付出2000元现金获得了价值4000元的商品，等于是享受了2000/4000=50的折扣。所以，由于黄牛的介入，顾客获得了额外的12.5的折扣优惠。黄牛可以将券卖给两类顾客。一类是只购买电器，黄金等大件的顾客，满2000元送300元券的规则对他们来讲，并不希望用送的券再去买其他商品。这样他们可以从黄牛手中以260元的价格购买300元券来付款。比如顾客乙购买6000元的电视机，用20张300元券来支付，实际只付出现金20260元=5200元。等于直接享受了5200/6000=86的折扣。这个折扣对于购买大件来讲还是很合算的。另外一类顾客是购买那些只收券而不发券的商品，比如手表等。他们同样可以从黄牛手中以260元的价格购买300元券来付款，等于享受86的折扣。
问题一：请估算上海八佰伴商场促销当晚黄牛党的总收益。并考虑以下三个顾客：甲顾客欲购买价值2400元a类商品，乙顾客欲购买价值5000元的a类商品，丙顾客欲购买价值6800元的a 类商品，请你分别给出在没有黄牛党参与下的顾客最优购买方案，和有黄牛参与下的购买方案，说明整体的收益链，分析各方的收益情况。
问题二：通过分析黄牛的盈利模式，分析黄牛收购券的定价为什么是250元收300元券？
问题三：在上述过程中，商场和商家的利益是受益还是受损？请你建立模型为商场制定合理的赠券策略维护自身的利益提供决策。
